کاربرد روش شبکه عصبی مصنوعی و مدل‌های واریانس ناهمسانی شرطی در محاسبه ارزش در معرض خطر

نویسندگان

1 کارشناس ارشد مهندسی مالی، دانشگاه علوم اقتصادی تهران.ایران

2 عضو هیأت علمی پژوهشکده آمار ایران .تهران.ایران

3 کارشناس ارشد اقتصاد .مرکز آمار ایران .تهران.ایران

چکیده

ریسک بازار از عدم اطمینان در خصوص بازدهی آتی دارائی‌ها در بازار نشأت می‌گیرد. امروزه معیارهای مختلفی برای بررسی انواع ریسک مرتبط با بازار، سبدهای مختلف دارائی، صنایع و ... به کار می‌روند. اما هر چند این معیارهای مختلف، اطلاعات ارزشمندی را برای فعالان بازار به همراه می‌آورند، لیکن هر یک به تنهایی نمی‌توانند اطلاعات جامع و کاملی را در خصوص ریسک بازار و یا سبد سهام به دست دهند. به همین منظور، «ارزش در معرض خطر» که به اختصار VaR نامیده می‌شود، تلاشی است برای اینکه عدد معینی در خصوص ریسک بازار و یا سبد سهام به تحلیل‌گران و فعالان بازار ارائه کند.
در این تحقیق از کلیه مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی شامل GARCH، EGARCH، CGARCH، TARCH و GARCH-M و روش شبکه عصبی مصنوعی برای پیش‌بینی ارزش درمعرض خطر پرتفویی متشکل از 50 شرکت با نقدشوندگی بالا استفاده شده است. سپس نتایج به دست آمده با استفاده از آزمون‌های پوشش غیرشرطی کوپیک مورد بررسی قرار گرفت. در نهایت مدل شبکه عصبی در مقایسه با سایر روش‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی، عملکرد بهتری را بر اساس آزمون کوپیک داشته است.
 
Abstract
Market risk is the result of  uncertainty about asset’s future returns in market.  Nowadays there are various criteria to evaluate the risk associated with market , stock’s  portfolio, industry,  …. But although these various criteria, have a valuable information for market agents, but not a single comprehensive information about the market risk or stock’s portfolio. For this purpose, "value at risk", offer a unique index of market risk or stock’s  portfolio for market’s agent.
In this paper all of models based on autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH, EGARCH, CGARCH, TARCH, GARCH-M) and Artificial Neural Network  (ANN) method are used to forecasting value at risk for 50 company with high liquidity The results were analyzed using Kupiec Test. Finally Artificial Neural Network model has a better performance compared with other methods based on Kupiec Test. 
 

کلیدواژه‌ها


کاربرد روش شبکه عصبی مصنوعی و مدل‌های واریانس ناهمسانی شرطی

در محاسبه ارزش در معرض خطر

رضا نریمانی[1]

نادر حکیمی پور[2]

اسعد اله‌رضایی[3]

دریافت: 06/04/1392        پذیرش: 08/06/1392

چکیده

ریسک بازار از عدم اطمینان در خصوص بازدهی آتی دارائی‌ها در بازار نشأت می‌گیرد. امروزه معیارهای مختلفی برای بررسی انواع ریسک مرتبط با بازار، سبدهای مختلف دارائی، صنایع و ... به کار می‌روند. اما هر چند این معیارهای مختلف، اطلاعات ارزشمندی را برای فعالان بازار به همراه می‌آورند، لیکن هر یک به تنهایی نمی‌توانند اطلاعات جامع و کاملی را در خصوص ریسک بازار و یا سبد سهام به دست دهند. به همین منظور، «ارزش در معرض خطر» که به اختصار VaR نامیده می‌شود، تلاشی است برای اینکه عدد معینی در خصوص ریسک بازار و یا سبد سهام به تحلیل‌گران و فعالان بازار ارائه کند.

در این تحقیق از کلیه مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی شامل GARCH، EGARCH، CGARCH، TARCH و GARCH-M و روش شبکه عصبی مصنوعی برای پیش‌بینی ارزش درمعرض خطر پرتفویی متشکل از 50 شرکت با نقدشوندگی بالا استفاده شده است. سپس نتایج به دست آمده با استفاده از آزمون‌های پوشش غیرشرطی کوپیک مورد بررسی قرار گرفت. در نهایت مدل شبکه عصبی در مقایسه با سایر روش‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی، عملکرد بهتری را بر اساس آزمون کوپیک داشته است.

 

JEL : G14, C59   ,G11, G17

 

 

 

1- مقدمه

به طور کلی، موسسات و بنگاه‌های مالی و اقتصادی با چهار نوع ریسک اعتباری، عملیاتی، نقدینگی و بازار مواجه‌اند. ریسک اعتباری، ریسک یا زیان بالقوه‌ای است که از ناتوانی طرف‌های تجاری بنگاه در ایفای تعهداتشان ناشی می‌شود. ریسک عملیاتی به ریسکی اتلاق می‌شود که از طریق امکان بروز خطا یا تقلب در تسویه قراردادها و مبادله اسناد می‌تواند متوجه بنگاه شود. ریسک نقدینگی زمانی مطرح می‌شود که بنگاه از منابع مالی کافی جهت رفع نیازهای فوری خود برخوردار نباشد. ریسک بازار نیز از عدم اطمینان در خصوص بازدهی آتی دارائی‌ها در بازار نشأت می‌گیرد. البته این تقسیم‌بندی به مفهوم جدایی این ریسک‌ها از یکدیگر نیست، بلکه کلیه این ریسک‌ها با یکدیگر در ارتباط بوده و مدیریت ریسک در بنگاه‌ها و موسسات بایستی به نحوی صورت گیرد که همه آنها را پوشش دهد.

در این تحقیق به طور خاص، به دنبال بررسی و تعیین ریسک بازار مرتبط با پرتفویی متشکل از 50 شرکت با نقدشوندگی بالا در بازار اوراق بهادار تهران هستیم.

امروزه معیارهای مختلفی برای بررسی انواع ریسک مرتبط با سبدهای مختلف دارائی، صنایع و ... به کار می‌روند. اما هر چند این معیارهای مختلف، اطلاعات ارزشمندی را برای فعالان بازار به همراه می‌آورند، لیکن هر یک به تنهایی نمی‌توانند اطلاعات جامع و کاملی را در خصوص ریسک صنعت و یا سبد سهام به دست دهند. به همین منظور، «ارزش در معرض خطر[4]» که به اختصار VaR نامیده می‌شود، تلاشی است برای اینکه عدد معینی در خصوص ریسک صنعت و یا سبد سهام به تحلیل‌گران و مدیران ارشد مؤسسات ارائه کند.

سال‌هاست که محاسبه ارزش در معرض خطر در بخش‌های مختلف اقتصادی اعم از بازار اوراق بهادار، بانک‌ها، شرکت‌های سرمایه‌گذاری و ... در سطح جهانی با استفاده از مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی، شبیه‌سازی تاریخی و شبیه‌سازی مونت کارلو صورت می‌گیرد. از سوی دیگر، با پیشرفت روز‌افزاون استفاده از روش‌های مبتنی بر هوش مصنوعی، استفاده از روش‌هایی از قبیل شبکه عصبی مصنوعی رواج یافته است که نتایج نسبتاً بهتری را نیز ارائه می‌کنند.

در ایران نیز تحقیقات گسترده و متنوعی در این خصوص با استفاده از مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی، شبیه‌سازی تاریخی و شبیه‌سازی مونت کارلو صورت گرفته است. اما علی‌رغم استفاده گسترده از روش شبکه عصبی مصنوعی در پیش‌بینی ارزش در معرض خطر در خارج از کشور، تاکنون هیچ تحقیقی در این زمینه در کشور صورت نگرفته است.

هدف از این تحقیق بررسی عملکرد مدل‌های اقتصادسنجی مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی و روش شبکه عصبی مصنوعی در محاسبة مقادیر ارزش در معرض خطر پرتفوی 50 شرکت برتر بورس اوراق بهادار است. بر این اساس فرضیه تحقیق نیز بر این اساس قرار دارد که روش شبکه عصبی مصنوعی به دلیل ماهیت کاملاً غیرخطی خود نتایج بهتری نسبت به مدل‌های نیمه غیرخطی مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی در پیش‌بینی ارزش در معرض خطر دارد.

2- ارزش در معرض خطر

در حال حاضر یکی از متداول‌ترین معیارهای سنجش ریسک بازار، محاسبه ارزش در معرض خطر یا VaR متناسب با سبد سهام یا پرتفوی مورد نظر است. به طور خلاصه، VaR یا مبلغ تحت ریسک، بیانگر حداکثر زیان مورد انتظار در خصوص سبد سهام یا مجموعه سرمایه‌گذاری‌ها در افق زمانی معین (مانند یک روز، یک هفته و یا یک ماه) در سطح اطمینان معین است. طبق این تعریف، معیار VaR دربرگیرنده دو پارامتر افق زمانی (k) و سطح اطمینان ( ) است.

به طور ساده‌تر، با فرض اینکه افق زمانی k روزه و سطح اطمینان   درصد باشد، مبلغ تحت ریسک یا VaR، مقدار زیان متناظر با درصد منحنی توزیع احتمال تغییرات ارزش سبد دارائی‌ها در طی k روز آتی است. برای مثال، هنگامی که  و  درصد باشد، ارزش در معرض خطر، معادل 1% سطح زیر منحنی توزیع احتمال تغییرات ارزش سبد سهام در طی 10 روز آتی است. نمودار زیر، VaR را برای موقعیتی که تغییرات در ارزش سبد دارائی‌ها تقریباً به صورت نرمال توزیع شده باشند را نشان می‌دهد.

 

 

 

 

شکل1. محاسبه VaR با استفاده از توزیع احتمالات تغییرات در ارزش سبد دارائی‌ها در سطح اطمینان α درصد

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

بنابراین ارزش در معرض خطر با استفاده از رابطه زیر تعریف می‌شود:

                                                                                                                                       

همچنین از آنجا که بازده یک سبد دارایی به صورت محاسبه می‌شود، ارزش در معرض خطر را به صورت زیر نیز می‌توان تعریف کرد:

   

که در آن شاخص قیمت سبد سهام در زمان t است.

روش‌های محاسبه ارزش در معرض خطر

در سال‌های اخیر، روش‌های مختلفی برای محاسبه ارزش در معرض خطر ارائه شده است. این روش‌ها به دو نوع پارامتریک و ناپارامتریک تقسیم می‌شوند. روش پارامتریک که شامل مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی و روش شبکه عصبی مصنوعی است، با استفاده از داده‌های تاریخی به برآورد پارامترهای تابع چگالی می‌پردازد. اما در روش ناپارامتریک، که به طور عمده شامل روش‌های شبیه‌سازی تاریخی و شبیه‌سازی مونت کارلو است، به جای برآورد پارامترهای تابع چگالی، مستقیماً از خود داده‌های تاریخی برای محاسبه ارزش در معرض خطر استفاده می‌شود.

در این تحقیق از مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی و شبکه عصبی مصنوعی استفاده خواهد شد. به همین جهت، در ادامه پس از بیان پیشینه تحقیقات صورت گرفته در این زمینه در داخل و خارج از کشور، به بیان مدل‌سازی نوسان‌پذیری و یا واریانس ناهمسانی شرطی در داده‌های سری زمانی مالی و روش‌های مختلف محاسبه آن و همچنین نحوه عمل روش شبکه عصبی مصنوعی خواهیم پرداخت.

3- مروری بر مطالعات تجربی

مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی یا ARCH، در ابتدا توسط انگل در سال 1982 معرفی شد. بولرسلف (1986) مدل انگل را تعمیم داد و گروهی از مدل‌ها را که به مدل‌های تعمیم‌یافته خودرگرسیو واریانس ناهمسان (GARCH) شهرت یافتند، ارائه کرد. از این پس، این مدل‌ها با تأکید بر ویژگی‌های مختلف داده‌های مالی گسترش یافتند، که از آن جمله می‌توان به مدل‌های IGARCH، EGARCH و ... اشاره کرد که در بخش روش‌شناسی تحقیق به طور کامل مورد بررسی قرار خواهند گرفت. اما در ادامه به بررسی تعدادی از تحقیقاتی که اخیراً در این زمینه صورت گرفته است می‌پردازیم.

چان و همکاران (2007) در مقاله‌ای به محاسبه ارزش در معرض خطر در بازار انرژی با استفاده از مدل های ARCH و GARCH می‌پردازند. نکته اصلی تحقیق آنها، تأکید بر ساخت فاصله اطمینان برای برآورد VAR شرطی است که می‌تواند تاحدی سبب افزایش قابلیت اعتماد این روش در برآورد ریسک گردد.

ماریموتو و دیگران (2009) در مقاله‌ای به بررسی ریسک مرتبط با بازار انرژی می‌پردازند. آنها اظهار می‌کنند که افزایش‌های اخیر در قیمت‌های انرژی، به خصوص قیمت نفت، تبدیل به یک نگرانی عمده برای مصرف کنندگان، شرکت‌ها و دولت‌ها گردیده است. بر این اساس، از آنجا که بسیاری از تحلیلگران بر این باورند که نوسانات قیمت نفت پیامدهای قابل توجهی در فعالیت‌های اقتصادی داشته و این در حالی است که بازارهای نفت به طور طبیعی نسبت به تغییرات قابل توجه قیمت نفت، آسیب‌پذیرند، نویسندگان این مقاله معتقدند پیش‌بینی و در نهایت محافظت در برابر ریسک بازار این محصول به یک ضرورت تبدیل شده است. از این رو آنها به محاسبه ارزش در معرض خطر با استفاده از روش‌های GARCH، شبیه‌سازی تاریخی و شبیه‌سازی تاریخی فیلتر شده پرداخته و نتایج آن با یکدیگر مقایسه شده است. نتایج به دست آمده اهمیت فرآیند فیلتر کردن داده‌ها برای موفقیت روش‌های استاندارد را مورد تأیید قرار می‌دهد.

با وجود گسترش چشم‌گیر مدل‌های اقتصادسنجی و استفاده روزافزون از آنها در بازارهای مالی دنیا، در ایران این مدل‌ها در بررسی ریسک بازار مورد توجه قرار نگرفته‌اند. با این وجود، در ادامه به بیان برخی از مطالعات صورت گرفته در این زمینه در ایران می‌پردازیم.

شاهمرادی و زنگنه (1386) در مقاله‌ای با استفاده از چهار نوع مدل GARCH، ارزش در معرض خطر را برای پنج شاخص عمده بورس اوراق بهادار تهران (شاخص کل، شاخص وزنی، شاخص صنعت، شاخص قیمت و بازده نقدی و شاخص پنجاه شرکت فعال‌تر) که واریانس ناهمسانی شرطی در آنها مشاهده می‌شود، برآورد کردند. نتایج حاکی از آن است که این گروه از مدل‌ها، رفتار میانگین و واریانس داده‌ها را نسبت به سایر مدل‌های کلاسیک محاسبه VaR به نحو مطلوب‌تری توضیح می‌دهند. همچنین نتایج نشان می‌دهد که شاخص‌های قیمت و بازده نقدی، صنعت و 50 شرکت فعال‌تر نسبت به شاخص‌های دیگر، ارزش در معرض خطر کمتری دارند.

اسلامی بیدگلی، راعی و کمال‌زاده (1392) در تحقیقی عملکرد روش پارامتریک در پیش‌بینی مقادیر ارزش در معرض خطر در قیمت سبد نفتی اوپک مورد بررسی قرار دادند. محققین پس از محاسبه مقادیر ارزش در معرض خطر یک و ده روزه با استفاده از برخی مدل‌های خانواده حافظه بلندمدت گارچ مانند FIGARCH، HYGARCH و FIEGARCH بر روی سه توزیع آماری نرمال، t استیودنت و t استیودنت چوله، نتایج به دست آمده را با استفاده از آزمون‌های کوپیک و صدک پویا، در سطوح اطمینان پایین و بالا مورد مقایسه و تحلیل قرار دادند. نتایج به دست آمده نشان می‌دهند که دنباله پهن و خاصیت حافظه بلندمدت در نوسانات بازده قیمت در سبد نفتی اوپک وجود دارد، پیش‌بینی مقادیر ارزش در معرض خطر یک روزه و ده روزه با استفاده از توزیع چوله از دقت و عملکرد بالاتری برخوردار است. در نهایت، مدل FIEGARCH در پیش‌بینی ارزش در معرض خطر در هر دو بازه 1 و 10 روزه بهتر از سایر مدل‌ها عمل می‌کند.

سجاد و هدایتی (1392) در مقاله خود مقدار ارزش در معرض خطر را با استفاده از هفت روش مختلف از جمله نظریه ارزش فرین و برای سه سطح اطمینان، برای بازده لگاریتمی شاخص کل بورس تهران، نرخ برابری دلار و یورو به صورت روزانه محاسبه می‌کنند. همچنین به منظور پیش‌بینی نوسانات بازده از مدل  GARCHاستفاده شده است. برای بررسی کفایت دقت مدل‌های به کار گرفته شده، آزمون‌های نسبت شکست‌های کوپیک، کریستوفرسن و تابع زیان لوپز را به کار گرفته شده‌اند. نتایج حاصل نشان می‌دهد که محاسبه ارزش در معرض خطر با استفاده از روش‌های سنتی لزوماً به نتایج مناسبی نمی‌انجامد و در برخی از موارد استفاده از نظریه ارزش فرین و در نظر گرفتن نوسانات شرطی برای داده‌ها موجب نتایج بهتری می‌شود این نتایج بیشتر در سطح اطمینان‌های بالاتر قابل مشهودتر است.

4- روش‌شناسی تحقیق

4-1- مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی

در اقتصادسنجی متعارف، برای بررسی و تبیین عوامل اثرگذار بر یک متغیر مانند  و همچنین مباحث مربوط به پیش‌بینی آن، از الگویی به شکل زیر استفاده می‌شود:

(1)                                                                                                 

در نهایت آنچه که برآورد می‌شود، معادله میانگین  است که به شرط غیرتصادفی بودن مقادیر متغیرهای توضیحی و ، به صورت زیر تعریف می‌شود:

(2)                                      معادله فوق، به معادله میانگین[5] معروف است. به طور مشابه، در اقتصادسنجی سری‌های زمانی، از الگوی ARMA (و یا ARIMA) به شکل زیر برای پیش‌بینی یک سری زمانی مانند  استفاده می‌شود که به تعبیری همان معادله میانگین در سری‌های زمانی است:

(3)                                                                                                                                           

مدل فوق به  معروف است که چنانچه  نامانا باشد، با تفاضل‌گیری به مدل  می‌رسیم. به طور معمول مدل فوق، با برقراری فروض استاندارد کلاسیک از قبیل نرمال بودن جزء خطا، عدم وجود خودهمبستگی و واریانس ناهمسانی در جزء خطا و ... قابل برآورد خواهد بود.

اما در طی دو دهه اخیر، مطالعات گسترده‌ای در خصوص مدل‌سازی و پیش‌بینی سری‌های زمانی مانند بازار سهام، نرخ ارز، تورم و ... صورت گرفته است. در این مطالعات، نوع خاصی از نوسان‌پذیری موسوم به نوسان‌پذیری خوشه‌ای[6] مورد توجه قرار گرفته است. در این حالت جزء خطا معادله رگرسیون به صورت شرطی ثابت نبوده و نسبت به اطلاعات تغییر می‌کند. روش‌های مختلفی برای مدل‌سازی چنین پدیده‌ای مطرح شده است که در ادامه به آن می‌پردازیم.

4-1-1- مدل واریانس ناهمسانی شرطی خودرگرسیونی[7]

در سال 1982، اقتصادسنجی به نام رابرت انگل[8]در مطالعه روند داده‌های تورم، دریافت که در تورم‌های بالا، نواسانات بیشتر و در تورم‌های پائین، نوسانات کمتر است. به عبارت دیگر، تغییرات بزرگ در متغیر مورد نظر، منجر به تغییرات بزرگ و تغییرات کوچک، منجر به تغییرات کوچک می‌شود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل2. نوسان‌پذیری خوشه‌ای در داده‌های سری زمانی

در واقع انگل با تمایز گذاشتن بین واریانس شرطی و غیرشرطی[9]، فصل جدیدی را در کاراتر ساختن تخمین ضرایب و بهبود نتایج پیش‌بینی کرد.

حال برای مدل‌سازی نوسان‌پذیری خوشه‌ای و یا واریانس شرطی اجزاء خطا از رابطه زیر استفاده می‌شود:

(4)                                                                               

که با فرض   داریم:

(5)                                                                                                                                                        

بر اساس رابطه فوق، واریانس شرطی  برابر است با امید ریاضی شرطی مجذور . لذا محاسبه واریانس جزء خطا در زمان t، به شرط معلوم بودن مقادیر خطا در دوره‌های گذشته امکان‌پذیر خواهد بود.

رابطه زیر، مدل ARCH را که در ساده‌ترین حالت، تنها به مجذور جمله خطا در دوره قبل بستگی دارد نشان می‌دهد که تحت عنوان  شناخته می‌شود[10]:

(6)                                                                                                                                                                             

معادله فوق به معادله واریانس[11] معروف است که مطابق معمول می‌توان آن را تا وقفه دلخواه گسترش داد. لذا در نهایت برای ارائه برآوردهای بهتر از ضرایب و همچنین پیش‌بینی‌های دقیق‌تر، بایستی دو معادله میانگین و واریانس به طور همزمان برآورد گردند. لذا چنانچه رابطه 4 را تا وقفه  q ام گسترش دهیم، مدل  به صورت زیر خواهد بود:

(7                                            

4-1-2- مدل واریانس ناهمسانی شرطی خودرگرسیونی تعمیم‌یافته[12]

مدل ARCH دارای دو نقطه ضعف اساسی است؛ اول اینکه تعیین مقدار q (وقفه‌های معادله واریانس) بسیار دشوار بوده و دوم اینکه برای جلوگیری از منفی شدن مقادیر برآورد شده واریانس، نیاز است که ساختار خاص و از پیش‌ تعیین‌شده‌ای بر مدل اعمال گردد. برای رفع این مشکلات، اقتصادسنجی به نام بولرسلف[13] در سال 1986 مدل ARCH تعمیم‌یافته یا GARCH را ارائه کرد. این مدل دارای معادله میانگین به شکل مرسوم ولی معادله واریانس متفاوت از مدل ARCH است که شکل ساده آن به صورت زیر است:

(8)                                                                                                                                                                 

رابطه فوق با  نشان داده می‌شود. به راحتی می‌توان نشان داد که معادله فوق معادل است با ؛ برای این منظور با نوشتن رابطه 8 با یک وقفه جایگذاری آن در رابطه فوق، داریم:

(9)                                                                                                 

به طور مشابه، با جایگذاری‌های مکرر خواهیم داشت:

(10)                              

بنابراین  معادل  خواهد بود. اما در حالت کلی، مدل  به صورت زیر تعریف می‌شود:

(11)                                                                    

اما با این وجود، نتایج بیشتر مطالعات تجربی، بر کفایت  تأکید دارند.

4-1-3- مدل واریانس ناهمسانی شرطی با هم‌انباشتگی[14]

فرض ضمنی مدل GARCH، کوچک‌تر از یک بودن مجموع ضرایب  و  است. به عبارت دیگر فرض بر این است که به علت نوسانات خوشه‌ای، واریانس شرطی  در طی زمان در حال تغییر بوده ولی واریانس غیرشرطی آن بایستی ثابت باشد. لذا برای مثال، چنانچه برای محاسبه واریانس غیرشرطی یک مدل ، با گرفتن میانگین معادله میانگین آن، خواهیم داشت:

 

که با فرض واریانس همسانی غیرشرطی، داریم:

 

، لذا واریانس  به صورت زیر قابل محاسبه خواهد بود:

(12)                                                                                  

به راحتی می‌توان دریافت که عبارت فوق در صورتی قابل تعریف است که  باشد؛ اما اگر  باشد، در اصطلاح گفته می‌شود که ریشه واحد وجود دارد و آن را با IGARCH نشان می‌دهند.

نتایج بسیاری از مطالعات تجربی نیز حاکی از وجود چنین پدیده‌ای (ریشه واحد) در مدل‌های GARCH می‌باشند. لذا برای کاراتر شدن مدل، قید زیر بر ضرایب مدل  تحمیل می‌شود:

(13)                                                                                                                                                                       

برای مثال، معادله واریانس مدل  که در بسیاری از مطالعات نیز مورد استفاده قرار گرفته است، به صورت زیر خواهد بود:

(14)                                                                                                                                       

4-1-4- مدل واریانس ناهمسانی شرطی آستانه‌ای[15]

در مدل‌هایی که تاکنون بررسی شد، اثر شوک‌های مثبت و منفی بر معادله واریانس، یکسان و متقارن درنظر گرفته شده است. اما به طور معمول انتظار داریم اثر شوک‌های مثبت و منفی که به بازدهی سهام وارد می‌شود و یا اثر کاهش و افزایش قیمت نفت بر اقتصاد متفاوت از یکدیگر عمل کنند. برای این منظور، یکی از مدل‌هایی که برای درنظر گرفتن چنین عدم تقارنی در اخبار و اطلاعات وارده بر بازارهای مالی و سطح کلان اقتصاد درنظر گرفته شده است، مدل ARCH آستانه‌ای یا TARCH است. در واقع مدل TARCH به دنبال تبیین اثرات وقایعی است که در گذشته روی داده است ولی اثر آنها در زمان حال ظاهر می‌شود. این مدل نیز دارای معادله میانگین به شکل قبل، ولی معادله واریانس به شکل رابطه زیر است:

(15)                                                                                          

                                                                                                                                                                                          

در این مدل  بیانگر اخبار خوب و  بیانگر اخبار بد می‌باشند. همچنین در این مدل، مقدار r بیانگر تعداد وقفه‌هایی است که طی آن، اخبار گذشته (خوب یا بد) بر واریانس اثر می‌گذارند. در این مدل تأثیر اخبار خوب به میزان  و تأثیر اخبار بد به میزان  است. از سوی دیگر، به راحتی می‌توان دریافت که چنانچه ضرایب  به ازای  معنی‌دار نباشند، مدل متقارن خواهد بود. همچنین چنانچه  باشد، اثر شوک‌های منفی بیشتر از اثر شوک‌های مثبت در دوره  iام بوده است و بلعکس.

 

4-1-5- مدل واریانس ناهمسانی شرطی نمایی[16]

مدل EGARCH نیز به شکل دیگری، به دنبال تبیین اثرات نامتقارن شوک‌های مثبت و منفی بر واریانس شرطی است. این مدل در سال 1991 توسط نلسون[17] مطرح شد که فرم عمومی آن به صورت زیر است:

(16)                                      مزیت اساسی این مدل نسبت به مدل TARCH، لگاریتمی بودن متغیر وابسته یعنی  است که در نتیجه ضرایب متغیرهای سمت راست می‌توانند مثبت یا منفی برآورد گردند[18].

4-1-6- مدل واریانس ناهمسانی شرطی توانی

تیلور[19](1986) و شوارت[20] (1989) مدل GARCH را بر اساس انحراف معیار معرفی کردند. در این مدل، به جای واریانس، انحراف معیار مدل­سازی می­گـردد. این مدل در سال 1993 با عنوان ARCH توانی عمومیت یافت. در مدل PARCH، پارامتر توانی از انحراف معیار قابل برآورد است و پارامترهای انتخابی نیز برای به دست ­آوردن عدم تقارن مرتبه بالاتر از r به مدل اضافه    شده­اند:

(17)                                                                                                      

که در آن  بوده و نیز به ازاء ،  است و برای تمامی  و  داریم: . در یک مدل نامتقارن  برای تمامی iها صفر خواهد بود. لازم به ذکر است که اگر برای تمامی iها،  و  باشد، مدل PARCH مشخصه GARCH استاندارد را دارد و نیز همانند مدل‌های قبلی، چنانچه  باشد، اثرات عدم تقارن برقرار خواهند بود.

4-1-7- مدل واریانس شرطی ترکیبی[21]

واریانس شرطی در مدل  عبارت است از:        

(18)                                                                                                                           

که بازگشت میانگین به را نشان می­دهد که برای تمامی دوره­ها ثابت است. در مقابل، مدل CGARCH بازگشت میانگین را به سطح متغیر جایز می­شمارد که به صورت زیر مدل­سازی می­گردد:

(19)                                                           که در آن

(20)                                                                                                                 

در اینجا نوسان است و جایگزین می­شود و نوسان بلندمدت متغیر در طی زمان را نشـان می‌دهد. اولین معادله، جزء ناپایدار و موقت را توصیف می­کند که با درجه (توان)  هم­گرا به صفر است. معادله دوم، جزء بلندمدت  را توصیف می­کند که با توان  به سمت  هم­گرا است.  نوعاً بین 99/0 و 1 بوده و لذا  بسیار آهسته به  نزدیک می­شود. می­توان معادلات ناپایدار و دائمی را ترکیب کرده و چنین نوشت:

(21)  

این معادله حاکی از این است که مدل CGARCH یک مدل غیرخطی محدود  است.

4-1-8- مدل اثر ناهمسانی واریانس شرطی در معادله میانگین[22]

در برخی از موارد، ممکن است نیاز باشد واریانس شرطی را نیز به عنوان یکی از متغیرهای توضیحی وارد معادله میانگین کرد. برای مثال، وجود همبستگی مثبت میان ریسک و بازده، به عنوان یکی از تئوری‌های اساسی در مباحث مالی مطرح است[23]. رابطه زیر، بیانگر یک مدل GARCH-M است که در آن واریانس شرطی با یک وقفه، وارد معادله میانگین شده است:

(22)                                                                 

در مدل فوق، چنانچه ضریب  معنی‌دار باشد، بیانگر وجود رابطه میان و واریانس شرطی (برای مثال بازده و ریسک) است.

تخمین مدل‌های مبتنی بر واریانس شرطی

از آنجا که هیچ یک از مدل‌های مبتنی بر واریانس شرطی، خطی نیستند، نمی‌توان آنها را به روش حداقل مربعات برآورد نمود[24]. به همین جهت، برای تخمین این مدل‌ها از روش حداکثر درستنمایی استفاده می‌شود. برای نشان دادن نحوه عملکرد این روش، دوباره معادله میانگین را به شکل کلی آن در رابطه 1 درنظر بگیرید:

 

حال از آنجا که  دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس  است[25]، دارای تابع چگالی احتمال به صورت زیر خواهد بود:

(23)                                       حال می‌توان تابع درستنمایی را برای n مشاهده به شکل زیر تشکیل داد[26]:

(24)                       حال با گرفتن لگاریتم از طرفین رابطه فوق داریم:

(25)                                             حال بایستی ضرایب معادله میانگین و واریانس به گونه‌ای برآورد گردند که مقدار تابع فوق حداکثر گردد. اما در بسیاری از مطالعات تجربی صورت گرفته در این زمینه، پهن‌تر بودن توزیع احتمال داده‌های مالی نسبت به تابع توزیع نرمال مورد تأکید قرار گرفته است. به همین جهت، در داده‌های مالی، از توزیع t-student که دارای دنباله‌های کشیده‌تری نسبت به توزیع نرمال است، استفاده می‌کنند. لذا چنانچه جملات خطای معادله میانگین از تابع توزیع t-student پیروی کنند، تابع حداکثر درستنمایی آن به شکل زیر خواهد بود:

(26)                           که در آن  تابع چگالی گاما و  درجه آزادی توزیع t-student هستند.

4-2- شبکه‌های عصبی مصنوعی[27]

شبکه عصبی مصنوعی در سال 1962 توسط روزن بلات[28] مطرح و در سال 1986 توسط رومل‌هارت[29] و مک‌کلند[30]با ابداع و ارائه مدل پرسپترون چندلایه، به طور گسترده‌ای در علوم مختلف مورد استفاده قرار گرفت. شبکه عصبی مصنوعی، از ساختاری نرونی و هوشمند، با الگوبرداری مناسب از نرون‌های موجود در مغز انسان سعی می‌کند تا از طریق توابع تعریف شده ریاضی، رفتار درون‌سلولی نرون‌های مغز را شبیه‌سازی کند و از طریق وزن‌های محاسباتی موجود در خطوط ارتباطی نرون‌های مصنوعی، عملکرد سیناپسی را در نرون‌های طبیعی به مدل درآورد. ماهیت و ذات تجربی و منعطف این روش باعث می‌شود تا در مسائلی مانند طبقه‌بندی، پیش‌بینی و ... که عموماً از رفتاری غیرخطی برخوردار هستند، به خوبی قابل استفاده باشد.

نحوه یادگیری در شبکه‌های عصبی به منظور پیش‌بینی سری‌های زمانی به صورت یادگیری هدایت شونده[31]است. در این نوع یادگیری، شبکه عصبی مصنوعی با دریافت سیگنال ورودی سعی در تنظیم و تصحیح پارامترهای شبکه با توجه به داده‌های هدف دارد که این امر در فازی به نام آموزش انجام می‌گیرد. در فاز آموزش داده‌هایی با ورودی و خروجی معلوم به شبکه داده می‌شود و با استفاده از روش‌های بهینه‌سازی، سیستم سعی در تخمین بردار پاسخ مطلوب با استفاده از خروجی الگوریتم یادگیری دارد.

این امر با حل یک مسئله بهینه‌سازی با دریافت m الگو از پاسخ‌های مطلوب ، ورودی‌های متناظر­ آن ­ و همچنین پارامترهای بهینه‌سازی معلوم پیشین  که وزن‌های اتصالات نامیده می‌شوند، انجام می‌گیرد. اندیس m نشان دهنده تعداد نمونه‌های آموزشی و اندیس p نشان‌دهنده تعداد وزن‌های اتصالات بین نرون‌ها[32] است. هر بردار ورودی x دارای l جزء و هر بردار خروجی دارای q جزء است.

الگوریتم بهینه‌سازی به دنبال حداقل کردن مجموع خطاهای بین بردار خروجی مطلوب k ام ( ) و k امین بردار خروجی ( ) که تابعی از وزن‌ها و بردار خروجی است، یعنی . شکل زیر نمایی از ورودی و خروجی شبکه عصبی و فرایند یادگیری آن را نشان می‌دهد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل3. نمایش یک ANN با مکانیزم یادگیری هدایت‌شونده

حال مسئله بهینه‌سازی به صورت زیر نشان داده می‌شود:

(27)                                                                                                                                 

هر چه داده‌های نمونه بیشتر باشد، آنگاه الگوریتم وزن‌ها را با توجه به شرایط جدید تصحیح می‌کند. چندین تکنیک برای حل این مسئله بهینه‌سازی استفاده شده است که از جمله آن می‌توان به الگوریتم ژنتیک و الگوریتم‌های مبتنی بر بردار گرادیان اشاره کرد.

ساختار شبکه عصبی

ساختار نشان‌دهنده ترتیب و نحوه قرار گرفتن نرون‌ها از لایه ورودی به لایه خروجی است. نحوه استفاده از ساختار را شرایط مسئله تعیین می‌کند. یکی از پرکاربردترین ساختارهای مورد استفاده، ساختار شبکه‌های پیشخور[33] است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل4. نمایش شبکه عصبی مصنوعی پیش‌خور با سه ورودی و دو خروجی

 

در شکل فوق که نمایی از یک شبکه پیشخور است، نرون‌ها در یک ساختار سلسله مراتبی در لایه‌هایی که از لایه ورودی شروع و به لایه خروجی ختم می‌شود، قرار می‌گیرند. لایه‌های داخلی که بین دو لایه ورودی و خروجی قرار می‌گیرند، لایه‌های پنهان نامیده می‌شوند. نرون‌ها در هر لایه (مبدأ) به لایه بعدی (مقصد) از طریق مسیر یک طرفه رو به جلو مرتبط می‌شوند. بدین معنی که خروجی هر لایه، ورودی لایه بعدی خواهد بود. این ساختار به واسطه این که به الگوریتم یادگیری پس‌انتشار خطا[34] مجهز است، بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد.

پس از تعیین ساختار، بایستی به تعیین تابع محرک شبکه عصبی بپردازیم. هر نرون در شبکه عصبی، به مانند پردازنده ساده‌ای است که مجموع وزن‌های ورودی از دیگر نرون‌ها دریافت و با یک تابع غیرخطی که تابع محرک نامیده می‌شود آن را تبدیل به ورودی نرون بعدی می‌کند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل5. ورودی و خروجی شبکه

برای مثال، خروجی  از نرون  kام که دارای l ورودی است به صورت زیر است:

(28)                                                                                به طوری که f تابع محرک،  نرون‌های ورودی به نرون k ام،   وزن‌های اتصالی بین آنها و  نیز حد آستانه[35] است. در این حالت، پردازش‌ها در هر لایه به صورت همزمان انجام می‌شود، از این‌رو این ساختار، شبکه عصبی را با توانایی بالای محاسبات همزمان مجهز می‌کند. بر اساس نوع مسئله و مکان قرارگیری لایه، تابع محرک می‌تواند به مانند یکی از حالت‌های جدول زیر باشد:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

جدول1. انواع تابع محرک

 

ردیف

نام

تعریف تابع

علائم قراردادی

1

آستانه دو مقداره

   

2

آستانه دو مقداره متقارن

   

3

خطی

   

4

آستانه خطی متقارن

   

5

آستانه‌ای خطی

   

6

زیگموئیدی

   

7

تانژانت هیپربولیک

   

8

خطی مثبت

   

 

در شبکه‌های پرسپترون چندلایه، با امکان تغییر تعداد لایه‌های پنهان و همچنین تعداد نرون‌ها، بایستی در خصوص تعداد لایه‌های پنهان و تعداد نرون‌های هر لایه تصمیم‌گیری شود. اگرچه لایه‌های پنهان تعامل مستقیمی با محیط خارج ندارند اما تأثیر فزاینده‌ای بر روی خروجی نهایی دارند. سایبنکو[36] نشان داده است که یک شبکه پرسپترون چند لایه با یک لایه پنهان که متشکل از تعداد مناسبی نرون باشد، با تابع محرک زیگموئید می‌تواند هر نوع تابع پیوسته را تخمین بزند و تاکنون هیچ توجیهی تئوریکی در مورد انتخاب تعداد لایه پنهان بالاتر از دو وجود ندارد.

مسئله بعدی در تعیین ساختار شبکه عصبی، انتخاب تعداد نرون در هر لایه است. اگر تعداد نرون خیلی کم در نظر گرفته شود، عدم تطابق[37] رخ می‌دهد. در واقع زمانی عدم تطابق به وجود می‌آید که تعداد نرون کافی برای تخمین سیگنال پیچیده استفاده نشده باشد. از سوی دیگر، استفاده از تعداد نرون‌های بسیار زیاد در لایه‌های پنهان نیز می‌تواند منجر به چندین مشکل شود: اول این که تعداد زیاد نرون موجب بیش‌برازش[38] می‌شود که در این صورت با ورود داده جدید، خطای مدل بسیار افزایش خواهد یافت و دوم اینکه با افزایش تعداد نرون‌ها، زمان آموزش آنها افزایش می‌یابد. بنابراین بایستی تعداد نرون بهینه میزانی بین خیلی کم و خیلی زیاد انتخاب شود.

انتخاب تعداد نرون‌های بهینه می‌تواند از طریق سعی و خطا نیز حاصل شود. البته این بدان معنا نیست که به صورت تصادفی این کار انجام شود چون در این‌صورت زمان زیادی صرف خواهد شد. چند روش مختلف بر اساس سعی و خطا، برای به دست آوردن بهترین ساختار ارائه شده است که پرکاربردترین آن، روش انتخاب پیش‌رو[39] است. در این روش، با انتخاب تعداد نرون پایین (معمولاً از دو عدد) شبکه آموزش داده می‌شود و سپس خطای شبکه مورد ارزیابی قرار می‌گیرد، اگر خطا قابل قبول بود که تعداد نرون مشخص شده است وگرنه به تعداد نرون‌ها، یکی اضافه کرده و سپس تا آنجایی ادامه می‌دهیم که به خطای از پیش‌تعیین شده‌ای برسیم.

مکانیزم یادگیری پس‌انتشار خطا

پس از تعیین تعداد لایه‌ها و نرون‌های شبکه، بایستی الگوریتم یادگیری آن تشریح شود. در مدل پرسپترون چند لایه، به طور معمول از تکنیک کاهش گرادیان برای حل مسئله بهینه‌سازی استفاده می‌شود که شامل حداقل‌سازی خطای تجمعی شبکه[40] است که آن را با نشان می‌دهیم. در واقع  بیانگر مجموع n مربع خطای با رابطه است که  مجذور برداری تفاوت بین  kامین بردار خروجی شبکه  و بردار خروجی هدف  و n نیز تعداد اعضای نمونه در فاز آموزش است.

به روز رسانی وزن‌ها در این الگوریتم به گونه‌ای طراحی شده است که در آن وزن‌ها در جهت عکس حرکت بردار گرادیان خطای تجمعی، تعدیل شوند. بر این اساس، با ورود داده آموزشی، سیگنال بازخوردی (خطای بین خروجی شبکه و هدف) ساخته شده و سپس با انتشار این خطا به عقب (به واسطه الگوریتم پس انتشار خطا)، وزن‌ها به ‌روز رسانی می‌شوند. شکل زیر نحوه عملکرد این مکانیزم را نشان می‌دهد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل6. مکانیزم یادگیری پس‌انتشار خطا

در ادامه با فرض اینکه تابع محرک زیگموئیدی است، به بررسی این الگوریتم می‌پردازیم. از آنجایی که می‌خواهیم خطای تجمعی را کمینه کنیم:

(29)                                                             در این قسمت، بسته به این که بخواهیم بهینه‌سازی را به صورت آنلاین (آموزش نمونه به نمونه صورت می‌پذیرد) و یا آفلاین (تمامی نمونه‌های آموزش به سیستم ارائه می‌شود و سپس با توجه به خطای تجمعی به ‌روز رسانی وزن‌ها صورت می‌گیرد) انجام دهیم، مسئله بهینه‌سازی به یکی از صورت‌های زیر در می‌آید:

(30)                                                                               

(31)                                            در هر دو رابطه فوق،  نشان‌دهنده بردار وزن‌های اتصالات بین نرون‌ها است. در این مقاله به علت بهتر بودن نتایج استفاده از بهینه‌سازی آنلاین وزن‌ها (بر اساس سایر مطالعات صورت گرفته)، از همین روش استفاده خواهیم کرد. در این حالت، تغییرات وزن‌ها بر اساس رابطه زیر انجام می‌گیرد:

(32)                                                                                                                                                           

به طوری که  بردار گرادیان  نسبت به بردار  است که نشان‌دهنده تمام وزن‌هایی است که بین لایه l و لایه ماقبل آن، یعنی ، وجود دارد. همچنین  نشان دهنده نرخ یادگیری است که معمولاً مقداری کوچک مثبت (معمولاً بین 0 و 1) درنظر گرفته می‌شود که در همگرایی و پایداری الگوریتم یادگیری نقش مهمی دارد. همچنین  نشان‌دهنده اختلاف بین بردار  و  است که بیانگر وزن اتصالی به لایه l، قبل و بعد از ورود نمونه آموزشی kام، است. این الگوریتم در شکل زیر نشان داده شده است:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل7. نمایش ارتباطات در پرسپترون چند لایه

 میزان تغییر وزن ارتباطب بین نرون jاز لایه  و نرون i واقع در لایه  را بیان می‌کند. همچنین  نمایش خروجی j امین نرون واقع در لایه ، است. سیگنال  نشان دهنده مجموع وزنی تمام سیگنال‌هایی است که به نرون i واقع در لایه پنهان ، از لایه قبلی آن یعنی ، می‌رسد. حال برای بازکردن رابطه 32، با استفاده قانون مشتق زنجیره‌ای داریم:

(33)                                                                                                

حال چنانچه لایه مورد بررسی، لایه خروجی باشد، به جای استفاده از l، از L استفاده خواهیم کرد که در نتیجه در این حالت رابطه فوق را به صورت زیر می‌توان بازنویسی کرد:

(34)                                                                                                                      

که در آن

(35)                                                                                                                                                                              

حال اگر کمیت   را به عنوان سیگنال خطای iامین نرون لایه خروجی معرفی کنیم، می‌توان رابطه به‌‌روزرسانی به را صورت زیر نوشت:

(36)                                                                                                                                                                               

دوباره با فرض تابع محرک زیگموئیدی، خطای سیگنال را می‌توان به صورت زیر نوشت:

(37)                                                                                                                                                

حال با استفاده از رابطه زیر می‌توان خطا را به عقب انتشار داد که در آن l نشان‌دهنده یک لایه پنهان ( ) است و عبارت  نیز از طریق رابطه زیر به دست می‌آید:

(38)                                                                                                                                                                         

سیگنال خطا به عنوان تابع خروجی لایه‌های قبلی، به صورت زیر محاسبه می‌شود:

(39)                                                                                                                                          

حال دوباره با فرض اینکه f، به صورت زیگموئیدی باشد،  را می‌توان به صورت زیر نوشت:

(40)                                                                                                                                   

عبارت  در رابطه‌های 37 و 38 نشان دهنده مجموع کل نرون‌ها در لایه ، اندیس i نشان دهنده نرون‌های لایه l و اندیس p نشان دهنده نرون‌های لایه  است. در واقع، این حقیقت که  در رابطه 36، مقدارش را از دانش موجود در   لایه بعدی می‌گیرد، باعث نام‌گذاری این روش به پس‌انتشار خطا شده است.

مراحل اجرای الگوریتم:

گام اول: با وزن‌ها و اریب اولیه که تصادفی و کوچک می‌باشند، شروع می‌کنیم.

گام دوم: یک الگو ورودی- خروجی از داده‌های آموزشی انتخاب می‌کنیم: .

گام سوم:k  امین سیگنال را در طول شبکه رو به جلو عبور داده و خروجی هر نرون i در هر لایه l را با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آوریم:

(41)                                                                                                                                                                                 

گام چهارم: خطای کل را با استفاده از  و سیگنال خطای  با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌کنیم:

(42)                                                                                                                                                                              

گام پنجم: وزن‌ها را بر اساس  برای   با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آوریم:

(43)                                                                                                        

گام ششم: مراحل بالا را از گام دوم به بعد، برای سایر داده‌های آموزشی اجرا کرده و هرگاه تمام نمونه‌ها مورد استفاده قرار گرفت، یک Epoch به اتمام می‌رسد.

گام هفتم: اگر خطای تجمعی E در لایه خروجی از یک میزان از پیش تعیین شده‌ای کمتر باشد، به این نتیجه می‌رسیم که آموزش به اتمام رسیده است وگرنه دوباره این مراحل را تا رسیدن به خطای مورد نظر، تکرار می‌کنیم.

استفاده از روش کاهش گرادیان، پایة بسیاری از الگوریتم‌های بهینه‌سازی است و از آن در یادگیری شبکه‌های عصبی و حداقل‌سازی مقدار خطای شبکه برای تنظیم پارامترهای شبکه استفاده می‌شود. دسته وسیعی از تحقیقات برای افزایش سرعت این الگوریتم در آموزش شبکه‌های عصبی چند لایه پیشخور انجام شده است که از نتایج آن می‌توان به انواع روش‌های گرادیان مرتبه اول (که در قسمت قبل به آن اشاره شد) و دوم اشاره کرد.

روش‌های مبتنی بر گرادیان مرتبه دوم، برای سرعت دادن به روش‌های گرادیان مرتبه اول و برطرف کردن معایب آن‌ها مطرح شده‌اند که در آن از مشتقات جزئی مرتبه دوم تابع خطا یا خروجی شبکه استفاده می‌شود. رابطه زیر روش نیوتن کلاسیک را که پایه بسیاری از روش‌های نیوتنی و گرادیان مرتبه دوم است، نشان می‌دهد:

(44)                                                                                                                                                            

در رابطه بالا، H ماتریس هشین[41]، g بردار گرادیان تابع خطای شبکه و  نرخ آموزش است. در این روش تغییر وزن‌ها، با محاسبه مستقیم ماتریس هشین انجام می‌شود. نکته کلیدی و تفاوت روش‌های مبتنی بر گرادیان مرتبه دوم در محاسبه معکوس ماتریس هشین است.

4-3- نحوه انجام پیش‌بینی

نحوه انجام پیش‌بینی در هر دو روش شبکه عصبی مصنوعی و مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی به این صورت است که در ابتدا یک حجم نمونه انتخابی ثابت (n) به صورت پنجره‌ای رو به جلو[42] به صورت دوره به دوره، در طول دوره پیش‌بینی حرکت داده می‌شود، سپس مدل با استفاده از داده‌های هر پنجره مدل با استفاده از روش شبکه عصبی مصنوعی و مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی برآورد و سپس یک مقدار متغیر وابسته برای یک دوره بعد پیش‌بینی می‌شود. این روند تا جایی که d پیش‌بینی انجام گیرد، ادامه خواهد یافت. شکل زیر نمایی از چنین روش تخمینی است:

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

شکل8. استفاده از پنجره رو به جلو در تخمین مدل

با توجه به شکل فوق، برای مثال پیش‌بینی  امین مشاهده متغیر ، با استفاده از n مشاهده قبلی آن یعنی ، امکان‌پذیر است. در نتیجه برای پیش‌بینی d دوره به صورت مشاهده به مشاهده، می‌توان از الگوی زیر استفاده نمود:

جدول2. الگوی پیشنهادی برای پیش‌بینی مشاهده به مشاهده داده‌ها

 

مشاهده مورد نظر برای پیش‌بینی

داده‌های مورد استفاده برای پیش‌بینی

   
   
   
   

 

4-4- نحوه ارزیابی مدل‌ها

برای ارزیابی مدل‌های مختلف مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی و شبکه عصبی مصنوعی به منظور پیش‌بینی VaR، می‌توان از تابع زیان صفر و یک استفاده کرد. در این تابع که توسط لوپز[43] ارائه گردید، در دوره پیش‌بینی، هر مقدار زیان واقعی که بیشتر از ارزش در معرض خطر باشد، به عنوان یک استثناء[44] تلقی گردیده و به آن عدد یک اختصاص می‌یابد و در غیر این‌صورت تابع مقدار صفر به خود می‌گیرد. با این تعریف، تابع زیان مورد نظر را می‌توان به صورت زیر نوشت:

                                                                                                                                                       

بنابراین هر مدلی که دارای تعداد استثنائات کمتری باشد، مدل بهتری ارزیابی می‌گردد. همچنین بر این اساس، کوپیک[45] آزمون پوشش غیرشرطی[46] را مطرح ساخت که طی آن، در صورتی مدل‌های تببین‌کننده ارزش در معرض خطر، مناسب تشخیص داده می‌شوند که با درنظر گرفتن سطح اطمینان α، نسبت استثنائات[47] در دوره پیش‌بینی برابر با  محاسبه گردد. به عبارت دیگر، اگر سطح معنی‌داری برای محاسبه ارزش در معرض خطر برابر α درصد منظور گردد، نسبت  (که در آن x تعداد استثنائات و d طول دوره پیش‌بینی است) بایستی نزدیک به  باشد. به راحتی می‌توان دریافت که اگر نسبت مذکور بزرگ‌تر از  درصد باشد، معیار ارزش در معرض خطر، ریسک را به درستی نشان نمی‌دهد و به تعبیری آن را دست کم می‌گیرد. همچنین در حالت عکس، یعنی   باشد، ریسک بیش از حد واقعی برآورد شده است.

برای محاسبه نسبت استثنائات که آن را با  نشان می‌دهیم، می‌توان از رابطه زیر استفاده نمود:                                                                                      

در نهایت، فرضیه که بیانگر برابر بودن سطح احتمال درنظر گرفته شده برای محاسبه ارزش در معرض خطر و احتمال وقوع استثنائات است، با استفاده از آماره نسبت درستنمایی زیر مورد آزمون قرار می‌گیرد:

                                 

آماره فوق دارای توزیع مجانبی  را درجه آزادی یک است.

 

 

 

5- داده‌های پژوهش و توصیف آماری مقدماتی آنها

داده‌های مورد استفاده در این پژوهش، داده‌های شاخص 50 شرکت برتر بورس[48] است که به طور هفتگی از تاریخ 05/01/1382 تا 2/04/1390 درنظر گرفته شده است که مشتمل بر 429 مشاهده است. سپس با استفاده از این شاخص، بازده‌های هفتگی با استفاده از رابطه  محاسبه گردیده‌اند که در آن  و  به ترتیب، بازده هفتگی و شاخص قیمت 50 شرکت برتر بورس در هفته t ام هستند.

در جدول زیر خلاصه‌ای از ویژگی‌های آماری بازده لگاریتمی شاخص مذکور ( ) آمده است:

جدول3. ویژگی‌های آماری شاخص 50 شرکت برتر

 

 

میانگین

انحراف معیار

چولگی

کشیدگی

حداقل

حداکثر

آماره جارک- برا

شاخص 50 شرکت برتر

0007/0

0235/0

0226/0

6614/8

1010/0-

1207/0

71/496

 

مطابق جدول فوق، در طی دوره مورد بررسی، میانگین بازده‌ها تقریباً برابر صفر است. همچنین میزان انحراف معیار در مقایسه با میانگین، نسبتاً زیاد بوده است که نشان از نوسان بالای شاخص در دوره مورد نظر دارد. همچنین میزان کشیدگی و چولگی به طور قابل توجهی بیشتر از توزیع نرمال است که به همین دلیل آماره جارک‌برا مبنی بر نرمال بودن توزیع بازده‌ها در ناحیه رد قرار گرفته است.

6- نتایج تجربی حاصل از برآورد مدل‌ها

پیش از برآورد مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی، بایستی متغیر یا ثابت بودن واریانس جمله خطا با استفاده از آزمون اثرات ARCH، بررسی و در صورت رد فرضیه صفر واریانس همسانی در این آزمون، به مرحله دوم برویم. در این آزمون، (با فرض واریانس همسانی) بهترین مدل ARIMA بر روی داده‌ها رگرس می‌شود و سپس با استفاده از باقیمانده‌های آن  ( )، مدل رگرسیون کمکی زیر تشکیل می‌شود:

 

حال با محاسبه ملاک آزمون اثرات آرچ به شکل  ، فرضیه   در مقابل فرضیه  آزمون می‌شود که در صورت غیر صفر بودن حداقل یکی از ها، مدل دچار واریانس ناهمسانی شرطی خواهد بود. نتایج آزمون به صورت زیر است که بیانگر لزوم استفاده از مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی است:

جدول4. نتایج آزمون آرچ

 

آماره

مقدار

احتمال

F

2003/16

0000/0

 

0169/27

0000/0

 

منبع : یافته های پژوهشگر


در مرحله دوم، در ابتدا هر یک از مدل‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی با وقفه‌های مختلف AR و MA در معادله میانگین و وقفه‌های مختلف  و  در معادله واریانس، به طور همزمان برآورد و سپس بهترین مدل با استفاده از معیار اطلاعاتی آکایکه انتخاب و پیش‌بینی بازده و انحراف معیار آن برای یک دوره بعد انجام می‌شود. توجه داشته باشید که مراحل ذکر شده با استفاده از مفهوم پنجره رو به جلو، به صورت مشاهده به مشاهده برای 100 دوره انجام می‌گیرد.

در روش شبکه عصبی مصنوعی نیز تعداد لایه‌ها و نرون‌ها با استفاده از معیار حداقل مربعات خطا[49]انتخاب و سپس شبکه بهینه برای پیش‌بینی مشاهده به مشاهده مقادیر ارزش در معرض خطر برای 100 دوره مورد استفاده قرار خواهد گرفت.

در نهایت مقدار ارزش در معرض خطر برای هر یک از دوره‌ها (دوره پیش‌بینی) و مدل‌ها با استفاده از رابطه  محاسبه خواهد شد.

همانطور که در قسمت‌های قبل نیز اشاره شد، اولین مرحله برای ارزیابی روش‌های مختلف محاسبه ارزش در معرض خطر، استفاده از یک معیار آماری برای تعیین اینکه روش‌های ذکر شده، ریسک شاخص یا سبد سهام مورد بررسی را دست کم نگرفته و یا بیش از حد برآورد نکنند، است. برای این منظور از آزمون پوشش غیرخطی کوپیک که در آن فرضیه صفر مبنی بر برابری نرخ شکست محاسبه شده و سطح معنی‌داری مورد نظر (در اینجا 5%) است، استفاده می‌شود:

 

نتایج انجام آزمون برای هر یک از روش‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی و روش شبکه عصبی مصنوعی در جدول زیر آمده است:

جدول5. مقایسه روش‌های مختلف محاسبه VaR با استفاده از آزمون کوپیک

 

مدل

نرخ شکست

آماره LR

مقدار بحرانی

نتیجه آزمون

 

04/0

0979/0

635/6

قبول

 

04/0

0979/0

635/6

قبول

 

04/0

0979/0

635/6

قبول

 

04/0

0979/0

635/6

قبول

 

06/0

0862/0

635/6

قبول

 

07/0

3270/0

635/6

قبول

neural network

05/0

0

635/6

قبول

 

منبع : یافته های پژوهشگر

 

مطابق جدول فوق، کلیه روش‌های محاسبه ارزش در معرض خطر از قدرت توضیحی مناسبی در برآورد VaR برخوردار هستند و آزمون LR مبنی بر تصریح درست ریسک، برای همه آنها مورد قبول واقع شده است اما روش شبکه عصبی مصنوعی با آماره LR محاسباتی صفر، بهترین عملکرد را در برآورد ارزش در معرض خطر در طی دوره پیش‌بینی به روش‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی دارد.

حال برای ارزیابی و درجه‌بندی دقیق‌تر روش‌های مذکور، می‌توان با محاسبه مقادیر ارزش در معرض خطر واقعی و مقادیر پیش‌بینی شده آن (در دوره پیش‌بینی) توسط هر یک از روش‌ها، به این مهم دست یافت که نتایج آن در جدول زیر آمده است:

جدول6. مقایسه روش‌های مختلف محاسبه VaR با استفاده از مقایسه مقادیر واقعی و پیش‌بینی آن

 

 

مدل

 

مدل

 

مقدار واقعی

0339/0

 

0486/0

 

0453/0

 

0397/0

 

0472/0

 

0363/0

 

0453/0

شبکه عصبی

0382/0

 

منبع : یافته های پژوهشگر

 

همانطور که در جدول فوق مشاهده می‌شود، VaR محاسبه شده به روش  بهترین عملکرد را (حتی شبکه عصبی مصنوعی) داشته است و مقدار آن نزدیک‌تر به مقدار واقعی VaR است. اما با این وجود، نتیجه روش شبکه عصبی نسبت سایر روش‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی بهتر بوده و همچنین مطابق جدول 5، تعداد خطای آن در محاسبه VaR به حالت نرمال نزدیک‌تر است.

نمودارهای زیر نیز شاهدی بر بهتر بودن نتایج VaR محاسباتی روش شبکه عصبی به میزان واقعی آن نسبت به سایر روش‌هاست.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EGARCH(1,1) Forcasting

 

TARCH(1,1) Forcasting

 

PARCH(1,1) Forcasting

 

CGARCH(1,1) Forcasting

 

ARCHM(1,1) Forcasting

 

 

7- نتیجه‌گیری

امروزه محاسبه ارزش در معرض خطر، یکی از معیارهای متداول برای بررسی و اندازه‌گیری ریسک‌های مرتبط با سبدهای مختلف دارائی، صنایع و ... است. ارزش در معرض خطر، تلاشی است برای اینکه عدد معینی در خصوص ریسک صنعت و یا سبد سهام به تحلیل‌گران و مدیران ارشد مؤسسات ارائه کند.

در این تحقیق به پیش‌بینی ارزش در معرض خطر مرتبط با پرتفویی متشکل از 50 شرکت با نقدشوندگی بالا در بازار اوراق بهادار تهران به صورت پنجره‌ای رو به جلو، با استفاده از دو رویکرد شبکه عصبی مصنوعی و مدل‌های مختلف مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی شامل GARCH، EGARCH، CGARCH، TARCH و GARCH-M پرداختیم.

نتایج نشان می‌دهد که روش شبکه عصبی مصنوعی در مقایسه با سایر روش‌های مبتنی بر واریانس ناهمسانی شرطی، به نحو مناسب‌تری توانسته میزان ریسک را پیش‌بینی کند، به گونه‌ای که بر اساس آزمون پوشش غیرشرطی کوپیک، در دوره پیش‌بینی به میزان 100 مشاهده، این روش در 5 مورد خطا داشته که همین امر بیانگر بهتر بودن نتایج این روش نسبت به سایر روش‌ها بر اساس این آزمون است. از سوی دیگر در مقایسه VAR واقعی در دوره پیش‌بینی با مقادیر محاسباتی نیز روش شبکه عصبی عملکرد نسبتاً بهتری داشته است.

 

 

 

 



[1]. کارشناس ارشد مهندسی مالی، دانشگاه علوم اقتصادی تهران.ایران (نویسنده مسئول)

[2]. عضو هیأت علمی پژوهشکده آمار ایران تهران.ایران

[3]. کارشناسی ارشد اقتصاد، مرکز امار ایران تهران.ایرانalahrezaee@yahoo.comEmail:

1. Value at Risk

1. Mean Equation

1. Volatility Clustring

2. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH)

3. Robert Engel

[9]. بحث‌هایی که در اقتصاد سنجی کلاسیک در خصوص واریانس ناهمسانی مطرح می‌شود، مربوط به واریانس غیرشرطی است و نه واریانس شرطی.

[10]. در برخی از کتب و مقالات به جای استفاده از معادله واریانس در رابطه 6، از دو رابطه زیر استفاده می‌کنند:

 

که به راحتی می‌توان نشان داد که دو رابطه فوق با معادله واریانس در رابطه 6 برابر است:

 

3. Variance Equation

1. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH)

2. Bollerslev

1. Integrated GARCH (IGARCH)

2. Threshold ARCH (TARCH)

1. Exponential GARCH (EGARCH)

2. Nelson

[18]. در این حالت نیازی به اعمال قید غیرمنفی بودن ضرایب مدل نیست.

1. Taylor

2. Schwert

3. Component GARCH (CGARCH)

1. GARCH-M

[23]. به عبارت دیگر، صرف ریسک بیشتر، بازدهی بیشتری را به همراه خواهد داشت.

[24]. زیرا روش OLS به دنبال حداقل‌سازی مجموع مربعات باقیمانده‌هایی است که از تخمین معادله میانگین شرطی به دست آمده است و هیچ گونه وابستگی به واریانس شرطی ندارد.

[25] .که می‌تواند توسط هر یک از فرآیندهای ،  و ... توضیح داده شود.

[26]. توجه داشته باشید که در اینجا به منظور ارزیابی کارایی مدل‌ها و بررسی قدرت پیش‌بینی آنها، از N مشاهده موجود، تعداد n مشاهده را برای برآرود ضرایب مدل و همچنین انجام پیش‌بینی برای  دوره باقیمانده استفاده نموده و سپس نتایج پیش‌بینی برای d دوره را با مقادیر واقعی متناظر با آن، مقایسه خواهیم کرد.

3. Artifitial Neural Network (ANN)

4. Rosenblatt

5. Rumelhart

1. Maccland

2. Supervised Learning

[32]. مجموعه‌ای از واحدهای محاسباتی پخش شده و موازی که معمولاً در لایه‌هایی که توسط ارتباطات یک طرفه وزن داده شده‌اند، قرار می‌گیرند.

1. Feedforward (FF)

1. Backpropagation Learning Algorithm (BPL)

2. Threshold

1. Cybenko

1. Underfitting

2. Overfitting

3. Forward Selection Method

4. Network Cumulative Error

[41]. ماتریس هشین، گرادیان مرتبه دوم تابع خطا نسبت به وزن‌های شبکه می‌باشد.

1 .Sliding Window

1. Lopez

2. Exception

3. Kupiec

4. Unconditional Coverage

[47]. تعداد استثنائات تقسیم بر کل دوره پیش‌بینی.

[48]. شاخص 50 شرکت برتر، میانگین قیمت سهام 50 شرکت برتر به لحاظ نقدشوندگی است که در محاسبه آن، تعداد سهام منتشره شرکت تأثیر داده نمی‌شود و تنها از جمع قیمت سهام این شرکت‌ها تقسیم بر تعداد آنها (تعدیل شده) به دست می‌آید. شرکت‌های حاضر در جمع 50 شرکت برتر در وقفه‌های سه ماهه توسط سازمان بورس اوراق بهادار معرفی می‌شوند.

1.  Mean Square Error (MSE)

منابع

-      محمدی، شاپور و راعی، رضا و فیض‌آباد، آرش، 1387، محاسبه ارزش در معرض خطر پارامتریک با استفاده از مدل‌های واریانس ناهمسانی شرطی در بورس اوراق بهادار تهران، تحقیقات مالی، دوره 10، شماره 25، بهار و تابستان 1387، صفحه 109 تا 124.

-      سجاد، رسول و هدایتی، شهره، 1393، برآورد ارزش در معرض خطر با استفاده از نظریه ارزش فرین در بورس اوراق بهادار تهران، فصلنامه علمی پژوهشی دانش سرمایه‌گذاری، سال سوم، شماره نهم.

-      اسلامی بیدگلی، غلامرضا و راعی، رضا و کمال‌زاده، سحر، 1392، محاسبه ارزش در معرض خطر قیمت سبد نفتی اوپک با استفاده از مدل‌های حافظه بلندمدت گارچ، فصل‌نامه مطالعات اقتصاد انرژی، سال دهم، شماره 39، صفحات 1-19.

 

-       Bollerslev, T., 1986, "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity", Journal of Econometrics, Vol. 31, No. 3, PP. 307-327.

-       Christiansen, C., 1999, "Value at Risk Using the Factor-ARCH Model", The Journal of Finance, Vol. 1, No. 2.

-       Engle, Robert F., 1982, "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimation of the Variance of United Kingdom Inflation", Econometrica, Vol. 50, No. 4, PP. 987-1007.

-       Giot, P., and Laurent, S., 2003a, "Value at Risk for Long and Short Trading Positions", Journal of Applied Econometrics, Vol. 18, PP. 641-664.

-       Glosten, L., Jaganathan, R., and Runkle, D., 1993, "Relationship between the Expected Value and Volatility of the Normal Excess Returns on Stocks", Journal of Finance, Vol. 48, PP. 1779-1802.

-       Jorion, P., 2000, Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk, McGraw-Hill, New York.

-       Kupiec, P., 1995, "Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models", Journal of Derivatives, Vol. 3, PP. 73-84.

-       Lopez, J.,1999, "Methods for Evaluating Value-at-Risk estimates, Federal Reserve Bank of San Francisco", Economic Review, Vol. 2, PP. 3-17.

-       Nelson, D., 1991, "Conditional Heteroscedasticity in Asset Returns: A new Approach", Econometrica, 59, 347-370.

-       Marimoutou V, Raggad, B, Trabelsi, A, 2009, Extreme Value Theory and Value at Risk: Application to oil market, Energy Economics, 519-530.

-       Chan, N. H., S. Deng, L. Peng, and Z. Xia, 2007, Interval estimation of Value at Risk based on GARCH models with heavy–tailed innovations. Journal of Econometrics, 137, 556-576.